MATEMATIKA

Gymnázium PORG Libeň

 

PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let a je zde také předmětem povinně maturitním.

 

 

I. Cíle výuky

 

Naši studenti jsou připravováni k  úspěšnému složení maturitní zkoušky na vyšší úrovni, zájemci o matematiku si mohou studium rozšířit o matematický seminář, na němž se připravují ke složení přijímacích zkoušek na vysoké školy technického, ekonomického a přírodovědného směru.

V průběhu studia se studenti učí:

·         rozvíjet logické a abstraktní myšlení

·         přesně a jasně se vyjadřovat

·         analyzovat problémy a řešit je

·         srozumitelně a věcně argumentovat

·         zdravě kriticky uvažovat a kvantifikovat různé jevy

·         procvičovat strategie řešení úloh

·         rozvíjet geometrickou představivost v rovině a v prostoru

 

 

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

 

·         maturitní zkouška

·         připouštěcí test pro maturanty (oktáva)

·         souhrnný test – maturitní generálka (oktáva)

·         souhrnný test z učiva kvinty až septimy (septima)

·         souhrnný test z učiva primy až kvarty (kvarta)

·         srovnávací testy společnosti Kalibro (sekunda, kvarta)

·         souhrnný test na konci každého ročníku

·         průběžné hodnocení (prověrky, krátké testy, ústní zkoušení apod.)

 

 

III. Hodinová dotace

prima

sekunda

tercie

kvarta

kvinta

sexta

septima

oktáva

4

4

4

4

4

2

4

4

 

 

IV. Osnovy

Prima

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Opakování a prohloubení učiva ZŠ

Číslo a číslice

Množiny

Přirozená čísla

Číselné výrazy

Rovnice

Slovní úlohy

2.

Základy planimetrie a stereometrie

Bod, přímka, polopřímka, úsečka

Úhel - pojem úhlu, jeho velikost (stupeň, minuta, vteřina, úhloměr)

Rýsování úhlu dané velikosti, přenášení úhlu a konstrukce osy úhlu

Sčítání a odčítání úhlů, násobení úhlu přirozeným číslem graficky a početně

Konstrukce úhlů velikostí 90°, 45°, 60°, 30°,15°, 120° kružítkem a pravítkem

Úhel přímý ostrý, pravý, tupý, nulový, plný

Dvojice přímek

Dvojice úhlů – vedlejší a vrcholové úhly, souhlasné a střídavé úhly

Kružnice, kruh

Trojúhelník, čtyřúhelník

Přímky a roviny v prostoru

Tělesa

3.

Dělitelnost přirozených čísel

Násobek, dělitel

Dělitelnost součtu, rozdílu a součinu

Znaky dělitelnosti 10, 5, 2, 4, 8, 3, 9

Prvočísla a čísla složená, rozklad složených čísel na součin prvočísel

Společný dělitel, největší společný dělitel

Čísla soudělná a nesoudělná

Společný násobek, nejmenší společný násobek

Znaky dělitelnosti dalšími čísly

Slovní úlohy

4.

Desetinná čísla

Desetinná čísla, porovnávání,

Sčítání a odčítání desetinných čísel

Násobení a dělení desetinných čísel

Násobení a dělení desetinných čísel 10, 100, 1000, 0,1, 0,01, 0,001

Převádění jednotek délky, obsahu, objemu a hmotnosti

Odhady a zaokrouhlování výsledků

Aritmetický průměr

Slovní úlohy

Vlastnosti početních výkonů s desetinnými čísly

5.

Celá čísla

Čísla kladná, nula, čísla záporná, čísla navzájem opačná

Sčítání a odčítání celých čísel

Násobení a dělení celých čísel

Záporná desetinná čísla

Číselné výrazy

Porovnávání celých čísel, uspořádání, znázornění na číselné ose

6.

Shodná zobrazení

Shodnost útvarů v rovině (ověřování překrýváním)

Osově souměrné útvary, osa úsečky, počet os souměrnosti rovinného útvaru

Osová souměrnost, osa souměrnosti, samodružné body, samodružné přímky

Konstrukce obrazu v osové souměrnosti

Středově souměrné útvary

Středová souměrnost, střed souměrnosti, samodružné body, samodružné přímky

Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti

7.

Zlomky

Zlomek a jeho základní tvar, porovnávání a rovnost zlomků, smíšené číslo

Krácení a rozšiřování zlomků

Znázornění zlomků na číselné ose, desetinné zlomky, porovnávání zlomků

Sčítání zlomků, záporné zlomky, odčítání zlomků, násobení zlomků, dělení zlomků, převrácené číslo, složené zlomky

Racionální čísla, periodická čísla

Slovní úlohy

8.

Souhrnné závěrečné opakování

Sekunda

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Opakování a prohloubení učiva primy

Celá čísla

Desetinná čísla kladná a záporná

Zlomky, složený zlomek

Číselné výrazy

2.

Úměrnosti

Poměr, převrácený poměr, krácení a rozšiřování poměru, zvětšování a zmenšování v daném poměru

Úměra, postupný poměr

Závislost veličin, přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka

Měřítko plánů a map

Diagramy

3.

Procenta

Procento, základ, procentová část, počet procent

Úrok, promile, jednoduché úrokování

Slovní úlohy, úlohy z praxe

4.

Trojúhelník

Trojúhelník – základní pojmy, vnitřní a vnější úhly trojúhelníku, ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník, rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník

Shodnost trojúhelníků – věty sss, sus, usu, Ssu, užití vět o shodnosti trojúhelníků

Střední příčky, těžnice, výšky trojúhelníku

Kružnice opsaná a kružnice vepsaná trojúhelníku

Konstrukce trojúhelníku podle sss, sus a usu, ssu, trojúhelníková nerovnost

Obsah, obvod trojúhelníku

Slovní úlohy, užití v praxi

5.

Čtyřúhelníky

Čtyřúhelník,  základní pojmy a vlastnosti obecného čtyřúhelníku

Lichoběžník a jeho vlastnosti - obvod, obsah a konstrukce lichoběžníku

Rovnoběžník a jeho vlastnosti - kosodélník, obdélník, kosočtverec, čtverec

Obvod a obsah rovnoběžníků

Konstrukce rovnoběžníků - užití osové a středové souměrnosti při
konstrukci rovnoběžníků

Deltoid a jeho vlastnosti - obvod, obsah a konstrukce deltoidu

Slovní úlohy, užití v praxi

6.

Mocniny a odmocniny Pythagorova věta

Pojem a výpočet druhé mocniny a odmocniny, užití tabulek a kalkulátoru

Iracionální číslo a osa reálných čísel (intuitivně)

Užití druhé mocniny a odmocniny

Výpočet mocniny s přirozeným mocnitelem

Operace s mocninami s přirozeným mocnitelem

Mocnitel nula

Výpočet mocniny s celým mocnitelem

Operace s mocninami s celým mocnitelem

Zápis čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin deseti

Zápis čísla ve tvaru a10n, kde a je desetinné číslo 1< a < 10, n celé číslo

Řád čísla, zobrazení čísla na displeji kalkulátoru

Pythagorova věta a věta k ní obrácená

Výpočty pomocí Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku

Užití Pythagorovy věty věty v praxi

7.

Výrazy 1 část

Číselný výraz a jeho hodnota

Proměnná, výraz s proměnnou

Celistvý výraz (jednočlen), operace s jednočleny

Mnohočlen, sčítání, odčítání násobení a dělení mnohočlenů

Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a pro rozdíl druhých mocnin

Slovní úlohy na sestavování a úpravy výrazů

8.

Hranol, kvádr, krychle

Hranol, kvádr, krychle

Zobrazení kvádru a krychle ve volném rovnoběžném promítání

Síť krychle, kvádru, hranolu, kolmý hranol, čtyřboké a trojboké hranoly

Jednotky povrchu a objemu a jejich převody

Výpočet povrchu a objemu krychle, kvádru a kolmého hranolu

Výpočet délky stěnové a tělesové úhlopříčky krychle a kvádru

Slovní úlohy, užití v praxi

9.

Souhrnné závěrečné opakování

Tercie

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Opakování a prohloubení učiva sekundy

Úměra

Procenta

Geometrické konstrukce

Mocniny, odmocniny, Pythagorova věta

Hranoly

Výrazy

2.

Kruhy a válce

Kružnice, kruh

Kružnice a přímka, vzájemná poloha, tečna, tětiva, vlastnosti

Části kružnice a kruhu, oblouk kružnice, kruhová výseč a úseč

Vzájemná poloha dvou kružnic, středná, soustředné kružnice, mezikruží

Thaletova věta

Délka kružnice, obsah kruhu, číslo p, délka oblouku kružnice, obsah kruhové výseče, obsah mezikruží

Válec, síť válce, podstavy a plášť válce

Povrch válce, objem válce

3.

Výrazy 2 část

Mocniny s celým exponentem

Mnohočleny, sčítání, dělení a umocňován mnohočlenů, rozklad na součin

Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a pro rozdíl druhých mocnin

Slovní úlohy na sestavování a úpravy výrazů

Lomené výrazy, definiční obor, sčítání, násobení a dělení lomených výrazů, složený lomený výraz

4.

Geometrické konstrukce

Základní konstrukce

Množiny všech bodů daných vlastností, základní množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice apod.)

Konstrukce útvarů daných vlastností

Konstrukční úlohy, rozbor úlohy, zápis konstrukce, důkaz, diskuse

Konstrukce trojúhelníku, čtyřúhelníku, konstrukce tečny z bodu ke kružnici

Posunutí, otáčení

5.

Rovnice a nerovnice 1

Rovnost, rovnice a ekvivalentní úpravy, kořen rovnice, zkouška

Lineární rovnice s jednou neznámou, diskuse řešitelnosti lineární rovnice

Slovní úlohy, úlohy o pohybu

Výpočet neznámé ze vzorce

Nerovnost, nerovnice, nerovnosti a intervaly, řešení nerovností

Lineární nerovnice s jednou neznámou, její řešení, množina všech řešení

Soustavy lineárních nerovnic s jednou neznámou

Úlohy z praxe

6.

Rovnice, nerovnice, soustavy rovnic 2

Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

Slovní úlohy o společné práci, o směsích 

Rovnice s více neznámými, řešení soustavy  lineárních rovnic s více neznámými, metoda sčítací, dosazovací, pomocí matic,  diskuse řešitelnosti 

Kvadratické rovnice a nerovnice

7.

Závěrečné zopakování a shrnutí učiva

Kvarta

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Opakování a prohloubení učiva z tercie

Kruhy a válce

Úpravy výrazů

Geometrické konstrukce

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

2.

Funkce

Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf funkce

Lineární funkce a její vlastnosti, graf konstantní funkce

Přímá úměrnost jako zvláštní případ lineární funkce

Grafické řešení rovnic

Absolutní hodnota, funkce y = │x│, graf

Kvadratická funkce, vlastnosti, graf

Lineární lomená funkce, vlastnosti, graf

Mocninné funkce, vlastnosti, grafy

Exponenciální funkce, vlastnosti, graf

Logaritmická funkce, vlastnosti, graf

Úlohy z praxe

3.

Základy statistiky

Statistický soubor, statistické šetření, shromažďování a třídění statistických údajů

Jednotka, znak, absolutní a relativní četnost, vyjádření četnosti v procentech, rozdělení četností a jejich grafické znázornění – sloupkový a kruhový diagram

Aritmetický průměr, modus, medián

4.

Podobnost

Podobnost, poměr podobnosti

Podobnost trojúhelníků, věty o podobnosti trojúhelníků, užití

5.

Goniometrické funkce

Funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravoúhlém trojúhelníku

Goniometrické funkce, jejich vlastnosti

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Grafy goniometrických funkcí, tabulky a kalkulátor, užití

Úlohy z praxe

6.

Jehlan, kužel koule

Jehlan, zobrazení jehlanu, podstava a výška jehlanu, plášť jehlanu, síť jehlanu

Povrch a objem jehlanu

Kužel, podstava a výška kužele, plášť kužele, síť kužele

Povrch a objem kužele

Koule, povrch a objem

7.

Závěrečné zopakování a shrnutí učiva

Kvinta

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Základy logiky a teorie množin

Základní množinové pojmy a vztahy, operace s množinami, (Vennovy diagramy, úlohy o počtu prvků)

Výrok a jeho pravdivostní hodnota, výroky s údaji o počtu, obecný a existenční kvantifikátor, Operace s výroky – negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, negace složených výroků (tabulky pravdivostních hodnot, axiom, definice, věta, obrácená věta, přímý a nepřímý důkaz, důkaz sporem

2.

Číselné obory

Obor čísel přirozených, celých, racionálních a reálných, iracionální čísla

Vlastnosti rovnosti a nerovnosti, operace v číselných oborech  

Zobrazení, prosté zobrazení

Číselný osa, absolutní hodnota, intervaly, operace s nimi

Druhá a třetí odmocnina, jednoduché operace s nimi 

Mocniny s přirozeným a celým exponentem, operace s mocninami, práce

s kalkulátorem, odhady a zaokrouhlování výsledků

Násobek, dělitel, znaky dělitelnosti, největší společný dělitel, nejmenší

společný násobek

Prvočísla a čísla složená, základní věta aritmetiky

3.

Algebraické výrazy

Proměnná, výraz

Mnohočleny a operace s nimi, definiční obor výrazu, vzorce (a + b)2 ,

a2 – b2, (a + b)3, a3 ± b3, rozklad mnohočlenu vytýkáním, užitím vzorců

Lomené  výrazy a operace s nimi

Výrazy s mocninou a odmocninou

Vyjádření neznámé ze vzorce

4.

Základy planimetrie

Přímka, polopřímka, úsečka, vzájemná poloha přímek

Polorovina

Úhel, dvojice úhlů, odchylka dvou přímek

Vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou rovnoběžek

Trojúhelník, věty o shodnosti trojúhelníků, významné prvky a vztahy v trojúhelníku

Rovnoběžník, lichoběžník, mnohoúhelník, pravidelný mnohoúhelník, konvexní útvary

Kružnice, kruh, jejich části, středový a obvodový úhel, vzájemná poloha přímky a kružnice, dvou kružnic

Obvody a obsahy rovinných útvarů

Podobnost trojúhelníků, Euklidovy věty, Pythagorova věta

Poměry délek stran v pravoúhlých trojúhelnících s vnitřními úhly 30° a 45°, konstrukční a výpočetní úlohy

Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy

Shodná zobrazení – osová a středová souměrnost, posunutí, otáčení,
konstrukční úlohy

Podobná zobrazení – podobnost, stejnolehlost, stejnolehlost kružnic, konstrukční úlohy

5.

Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Ekvivalentní a důsledkové úpravy rovnic a nerovnic, zkouška řešení, ověření
řešení nerovnice

Řešení lineárních rovnic, lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy, lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru

Řešení kvadratické rovnice, ryze kvadratická rovnice, kvadratické rovnice bez absolutního členu, diskriminant, rozklad kvadratického trojčlenu, vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Kvadratická nerovnice, geometrická interpretace

Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli, řešení rovnic s neznámou
pod odmocninou

Jednoduché lineární a kvadratické rovnice s parametrem

Slovní úlohy

Kartézský součin

Soustavy dvou lineárních rovnic a nerovnic o dvou neznámých, jejich numerické a grafické řešení

Soustavy tří a více lineárních rovnic pro tři a více neznámých

Soustavy rovnice lineární a kvadratické a dvou kvadratických rovnic

Řešení soustav nerovnic

Slovní úlohy

6.

Souhrnné opakování

Sexta

hodinová dotace 2 hodiny týdně

1.

Opakování a prohloubení učiva kvinty

2.

Základní vlastnosti funkcí

Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce

Funkce sudá a lichá, monotonie funkce, omezenost funkce, maximum a minimum funkce, funkce periodická, inverzní

3.

Racionální funkce

Lineární funkce a jejich vlastnosti, graf funkce

Grafy funkcí s absolutními hodnotami

Kvadratická funkce, jejich vlastnosti a užití

Mocniny s přirozeným mocnitelem, nepřímá úměrnost, lineární lomená funkce, mocninné funkce, mocniny a odmocniny - počítání s nimi

4.

Exponenciální a logaritmická funkce

Exponenciální a logaritmická funkce, řešení exponenciálních rovnic

Logaritmus, věty o logaritmech, dekadický a přirozený logaritmus

Logaritmické a složitější exponenciální rovnice

 

5.

Goniometrie a trigonometrie

Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře

Goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens a jejich vlastnosti

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

Goniometrické rovnice

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku a jejich užití

Sinová a kosinová věta

Součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument, úpravy goniometrických výrazů

Základní a složitější goniometrické rovnice a nerovnice

Řešení obecného trojúhelníku, aplikace

6.

Souhrnné opakování učiva

Septima

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Opakování goniometrie a trigonometrie

2.

Stereometrie

Základní pojmy, bod, přímka, rovina

Základy volného rovnoběžného promítání

Polohové vztahy přímek a rovin v prostoru, vzájemná poloha dvou přímek,

přímky a roviny, dvou a tří rovin

Rovnoběžnost přímek a rovin

Rovinné řezy hranolu a jehlanu rovinou

Průnik přímky s tělesem

Polohové vztahy přímek a rovin

Metrické vztahy přímek a rovin

Kolmost přímek a rovin, vzdálenosti a odchylky přímek a rovin

Objemy a povrchy těles - hranol, válec, jehlan, kužel, komolý jehlan, komolý kužel, koule a její části

Aplikace

3.

Analytická geometrie lineárních útvarů

Soustava souřadnic na přímce a v rovině, v prostoru, vzdálenost dvou bodů,
střed úsečky

Orientovaná úsečka a vektor, souřadnice vektoru, velikost vektoru

Operace s vektory – sčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, skalární a vektorový součin vektorů, lineární závislost a nezávislost vektorů

Rovnice přímky v obecném, parametrickém a směrnicovém tvaru

Rovina – parametrické vyjádření a obecná rovnice

Vzájemná poloha přímek a rovin

Odchylka přímek a rovin, odchylka přímky od roviny

Vzdálenost bodu od přímky a od roviny

4.

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytické vyjádření kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice, tečna kružnice

Elipsa, hyperbola, parabola - jejich základní vlastnosti a konstrukce

Osová a obecná rovnice elipsy a hyperboly

Vrcholová a obecná rovnice paraboly

Určení kuželosečky z jejího analytického vyjádření

Vzájemná poloha přímky a kuželosečky

Tečny ke kuželosečkám, polára

5.

Komplexní čísla

Komplexní číslo jako uspořádaná dvojice reálných čísel

Číselný obor komplexních čísel

Gaussova rovina

Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla

Operace s komplexními čísly

Vzdálenost v Gaussově rovině

Moivreova věta

Užití komplexních čísel při řešení geometrických úloh – pravidelné mnohoúhelníky

Řešení rovnic v množině komplexních čísel

Binomická věta

6.

Souhrnné opakování učiva

Oktáva

hodinová dotace 4 hodiny týdně

1.

Opakování učiva ze septimy

2.

Posloupnosti a řady

Definice, graf a vlastnosti posloupnosti

Určení posloupnosti vzorcem pro n-tý člen, rekurentně

Důkaz matematickou indukcí

Aritmetická posloupnost – vztah pro součet prvních n členů posloupnosti,

rekurentní vyjádření, použití ve slovních úlohách

Geometrická posloupnost – vztah pro součet prvních n členů posloupnosti

rekurentní vyjádření, použití ve slovních úlohách

Úrokování

Limita posloupnosti

Nekonečná geometrická řada, její součet

Úlohy na užití nekonečné geometrické řady

3.

Kombinatorika

Variace, kombinace, permutace bez opakování

Variace, kombinace, permutace s opakováním

Kombinační číslo

n-faktoriál, výrazy, rovnice, nerovnice

Binomická věta

Slovní úlohy

4.

Pravděpodobnost

Náhodný jev

Množina všech možných výsledků pokusu, množina výsledků příznivých danému jevu, pravděpodobnost náhodného jevu

Sčítání a násobení pravděpodobností

Slovní úlohy – aplikace v praxi

5.

Statistika

Statistický soubor, statistický znak, třídění souboru podle hodnoty statistického znaku Absolutní a relativní četnost

Modus, medián, aritmetický průměr, průměrná odchylka, rozptyl, směrodatná odchylka

Grafické znázornění – kruhový sloupcový a spojnicový diagram

6.

Závěrečné opakování

Systemizace učiva

 

 

V. Učebnice

Prima – kvarta

učebnice řady: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií. Nakladatelství Prometheus.

Rozdělění učebnic do jednotlivých ročníků

Prima

Úvodní opakování

Kladná a záporná čísla

Osová a středová souměrnost

Dělitelnost

Racionální čísla

Sekunda

Úměrnosti

Procenta

Trojúhelníky a čtyřúhelníky

Hranoly

Výrazy 1

Tercie

Kruhy a válce

Geometrické konstrukce

Výrazy 2

Rovnice a nerovnice

Rovnice a jejich soustavy

Kvarta

Funkce

Podobnost a funkce úhlu

Jehlany a kužely

Funkce

Goniometrie

Kvinta -  oktáva

učebnice řady: Matematika pro gymnázia. Nakladatelství Prometheus.

Rozdělění učebnic do jednotlivých ročníků

Kvinta

Základní poznatky z matematiky

Planimetrie

Rovnice a nerovnice

Sexta

Funkce

Goniometrie

Septima

Stereometrie

Analytická geometrie

Komplexní čísla

Oktáva

Posloupnosti a řady

Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

VI. Další doporučená literatura

Prima – kvarta

Běloun a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ. Nakladatelství Prometheus.

Odvárko, Kadleček: Sbírka úloh z matematiky pro osmý ročník. Nakladatelství Prometheus.

Matematické, fyzikální a chemické tabulky. Nakladatelství Prometheus.

Kvinta – oktáva

Petáková: Příprava k maturitě a přijímacím zkouškám na vysoké školy. Nakladatelství Prometheus.

Kubát: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na VŠ. Nakladatelství Prometheus.

Bušek: Řešené maturitní úlohy z matematiky. Nakladatelství Prometheus.

Matematické, fyzikální a chemické tabulky a vzorce pro střední školy. Nakladatelství Prometheus.